mmochiです。
それはごく当たり前の挙動です。
そもそもそっくりそのまま移行したいのにインストーラーが起動したら困ります。
そっくりそのまま移行したいのならconfigure.phpをショップ側、admin側共に新サーバーの環境に書き換えてから全てをFTPすれば良いです。もちろんDBのデータも移行しておきます。
ディレクトリのパーミッション変更も忘れずに。
が、上記の方法はミスが起きやすいので不安でしたら次の方法を採ったほうが確実かもしれません。
(後学の為なら前者の方が良いかも

)
まずは新しいZenCart(変更等していないもの)をアップして新規インストールします(デモ商品なし)。
その次に、移行したいサイトデータの中からショップ側、admin側のconfigure.phpファイルを除いて上書きアップロードすれば確実です。
#ようするにconfigure.phpをインストーラに作ってもらいましょうというだけの話でした。
DBデータの移行の仕方はいろいろありますが、バックアップしてあるのならそれを新サーバーに移すだけ、phpMyAdminでエクスポートしてあるのなら、新サーバーでインポートするだけです。
#簡単なことなのですが何気にハマル可能性もありそうななさそうな。
#後はやってみてうまくいかなかったらそこを質問してみてください。